Determinantes I

El determinante de una matriz A cuadrada es un número que se obtiene a partir de los
elementos de la matriz. Se representa por A o det(A).

Es una función det: A2  definida por:

Veamos como calculamos determinantes sencillos para después dar el salto a otros de
orden superior:

- Determinante de orden dos:
Sea la matriz cuadrada de dimensión 2´2
Definimos el determinante de A de la siguiente forma:
   |A| = a11 × a22 - a12 × a21
  Ejemplo: 
        
- Determinante de orden tres:
Es un número asociado a una matriz 3´3 calculado de la siguiente forma:
 =  a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a ₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂− a₁₃ a₂₂ a₃₁ −                               a₁₂ a₂₁ a ₃₃ − a₁₁ a₂₃ a<sub>32.

  Ejemplo:</sub> 

 =

3 · 2 · 4 + 2 · (−5) · (−2) + 1 · 0 · 1 − 1 · 2 · (−2) − 2 · 0 · 4 − 3 · (−5) · 1= 24 + 20 + 0 − (−4) − 0 − (−15) = 44 + 4 + 15 = 63

Podemos observar que en cada producto hay un factor por cada fila y columna; además la mitad de los productos tienen signo más y la otra mitad signo menos.

Para recordar estos productos que nos dan el valor del determinante de orden 3, se utiliza la siguiente regla: la regla de Sarrus.

- La regla de Sarrus:

Pierre Sarrus (1798, 1861) fue un matemático francés que estableció una regla para calcular determinantes de orden 3.

Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Los términos con signo − están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

- Propiedades de los determinantes:

1. El determinante de una matriz cuadrada A es igual que el determinante de su traspuesta. A= At

Esta propiedad nos indica que todo lo que pudiéramos decir para filas, también sería válido para las columnas.

2. Si permutamos entre sí dos filas (o columnas) de una matriz, el determinante cambia de signo, sin variar su valor absoluto.

3. Si todos los elementos de una fila (o columna) de una matriz cuadrada son ceros, el determinante de dicha matriz es cero.

4. Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o columnas) iguales, entonces su determinante vale cero.

5. Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o columnas) proporcionales, su determinante vale cero.

6. Si los elementos de una fila (o columna) de un determinante se multiplican por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número.

7. Si una fila (o columna) de una matriz cuadrada es combinación lineal de dos o más filas (o columnas), entonces el determinante de la matriz vale cero.

8. El determinante de una matriz cuadrada no cambia si se sustituye una fila (o columna) por una combinación lineal de ella con las restantes filas (o columnas).

Aplicando esta propiedad de forma reiterada, el determinante de una matriz cuadrada se puede convertir en otro del mismo valor que el dado, de tal forma que, todos los elementos de una fila (o columna) elegida, sean cero, excepto uno de ellos.

9. El determinante de una matriz triangular o diagonal es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

10. Si cada elemento de una fila (o columna) de una matriz cuadrada se escribe como suma de dos sumandos, el determinante de dicha matriz es igual a la suma de dos determinantes que tienen iguales todas las filas (o columnas), salvo la que se haya descompuesto, en la que el primer determinante tiene los primeros sumandos y el segundo determinante los segundos

sumandos.

_{- Menor complementario:}
Se llama menor complementario de un elemento a_ij al valor del determinante de orden n − 1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j.



- Adjunto:
Se llama adjunto del elemento a_ij a su menor complementario anteponiendo:
El signo es +    si  i + j  es par.
El signo es −    si  i + j  es impar.

     

Se cumple que cualquier determinante es igual a la suma de cada elemento de una fila (o columna) por su adjunto correspondiente.
 1A11 + 2A21 + 3A31 + 5A22 + 4A23

  

- Método de Chio:

Determinantes de matrices de orden "n"

     Ejemplos:

   Ejemplo:

Sustituyendo:

Cálculo por el método de Chio: