lunes, 11 de noviembre de 2013

Teoría de grafos

La teoría de grafos es muy importante en la actualidad: su utilización en redes, comunicación, biología o sociología hacen de esta rama de las matemáticas una herramienta esencial para el estudio y la modelización de muchos aspectos de nuestra vida.

Para las matemáticas y las ciencias de la computación, un grafo es el principal objeto de estudio de la teoría de grafos. De esta forma, un grafo se representa gráficamente como un conjunto de puntos (llamados vértices o nodos), unidos por líneas (aristas). Los grafos permiten estudiar las interrelaciones entre unidades que se encuentran en interacción.

Son diagramas que si se interpretan en forma adecuada proporcionan información, como por ejemplo los mapas, diagramas de circuitos o de flujos, entre otros .

- Historia:

El origen de la teoría de grafos se remonta al siglo XVIII con el problema de los puentes de Königsberg, el cual consistía en encontrar un camino que recorriera los siete puentes del río Pregel (54°42′12″N 20°30′56″E) en la ciudad de Königsberg, actualmente Kaliningrado, de modo que se recorrieran todos los puentes pasando una sola vez por cada uno de ellos. El trabajo de Leonhard Euler sobre el problema titulado Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis1 (La solución de un problema relativo a la geometría de la posición) en 1736, es considerado el primer resultado de la teoría de grafos. También se considera uno de los primeros resultados topológicos en geometría (que no depende de ninguna medida). Este ejemplo ilustra la profunda relación entre la teoría de grafos y la topología.

Luego, en 1847, Gustav Kirchhoff utilizó la teoría de grafos para el análisis de redes eléctricas publicando sus leyes de los circuitos para calcular el voltaje y la corriente en los circuitos eléctricos, conocidas como leyes de Kirchhoff, considerado la primera aplicación de la teoría de grafos a un problema de ingeniería.

En 1852 Francis Guthrie planteó el problema de los cuatro colores el cual afirma que es posible, utilizando solamente cuatro colores, colorear cualquier mapa de países de tal forma que dos países vecinos nunca tengan el mismo color. Este problema, que no fue resuelto hasta un siglo después por Kenneth Appel y Wolfgang Haken en 1976, puede ser considerado como el nacimiento de la teoría de grafos. Al tratar de resolverlo, los matemáticos definieron términos y conceptos teóricos fundamentales de los grafos.

En 1857, Arthur Cayley estudió y resolvió el problema de enumeración de los isómeros, compuestos químicos con idéntica composición (formula) pero diferente estructura molecular. Para ello represento cada compuesto, en este caso hidrocarburos saturados CnH2n+2, mediante un grafo árbol donde los vértices representan átomos y las aristas la existencia de enlaces químicos.

El término «grafo», proviene de la expresión «graphic notation» usada por primera vez por Edward Frankland2 y posteriormente adoptada por Alexander Crum Brown en 1884, y hacía referencia a la representación gráfica de los enlaces entre los átomos de una molécula.

El primer libro sobre teoria de grafos fue escrito por Dénes Kőnig y publicado en 1936.

- Aplicaciones:

Gracias a la teoría de grafos se pueden resolver diversos problemas como por ejemplo la síntesis de circuitos secuenciales, contadores o sistemas de apertura. Se utiliza para diferentes áreas por ejemplo, Dibujo computacional, en toda las áreas de Ingeniería.

Los grafos se utilizan también para modelar trayectos como el de una línea de autobús a través de las calles de una ciudad, en el que podemos obtener caminos óptimos para el trayecto aplicando diversos algoritmos como puede ser el algoritmo de Floyd.

Para la administración de proyectos, utilizamos técnicas como PERT en las que se modelan los mismos utilizando grafos y optimizando los tiempos para concretar los mismos.

La teoría de grafos también ha servido de inspiración para las ciencias sociales, en especial para desarrollar un concepto no metafórico de red social que sustituye los nodos por los actores sociales y verifica la posición, centralidad e importancia de cada actor dentro de la red. Esta medida permite cuantificar y abstraer relaciones complejas, de manera que la estructura social puede representarse gráficamente. Por ejemplo, una red social puede representar la estructura de poder dentro de una sociedad al identificar los vínculos (aristas), su dirección e intensidad y da idea de la manera en que el poder se transmite y a quiénes.

Los grafos son importantes en el estudio de la biología y hábitat. El vértice representa un hábitat y las aristas (o "edges" en inglés) representa los senderos de los animales o las migraciones. Con esta información, los científicos pueden entender cómo esto puede cambiar o afectar a las especies en su hábitat.

- Composición:

Un grafo está compuesto por dos conjuntos finitos, un conjunto de |A| aristas y un conjunto de |V| vértices. J es la relación de incidencia, que asocia a cada elemento de |A| un par de elementos de |V|

Se denota G= { A, V, j}

* Vértices: Son los objetos representados por punto dentro del grafo.

* Aristas: son las líneas que unen dos vértices.

* Aristas Adyacentes: dos aristas son adyacentes si convergen sobre el mismo vértice.

* Aristas Múltiples o Paralelas: dos aristas son múltiples o paralelas si tienen los mismos vértices en común o incidente sobre los mismos vértices.

* Lazo: es una arista cuyos extremos inciden sobre el mismo vértice.

- Tipos de grafos:

* No dirigidos: son aquellos en los cuales los lados no están orientados (no son flechas). Cada lado se representa entre paréntesis, separando sus vértices por comas, y teniendo en cuenta (vi,vj)=(vj,vi).

* Dirigidos: son aquellos en los cuales los lados están orientados (flechas). Cada lado se representa entre ángulos, separando sus vértices por comas y teniendo en cuenta <vi ,vj>=<Vj ,vi>. En grafos dirigidos, para cada lado <a,b>, a, el cual es el vértice origen, se conoce como la cola del lado y b, el cual es el vértice destino, se conoce como cabeza del lado.

* Grafo simple. o simplemente grafo es aquel que acepta una sola una arista uniendo dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos. Es la definición estándar de un grafo.

* Grafo etiquetado. Grafos en los cuales se ha añadido un peso a las aristas (número entero generalmente) o un etiquetado a los vértices.

* Grafo aleatorio. Grafo cuyas aristas están asociadas a una probabilidad.

Hipergrafo. Grafos en los cuales las aristas tienen más de dos extremos, es decir, las aristas son incidentes a 3 o más vértices.

* Grafo infinito. Grafos con conjunto de vértices y aristas de cardinal infinito.

- Representación de grafos:

Existen diferentes formas de representar un grafo (simple), además de la geométrica y muchos métodos para almacenarlos en una computadora. La estructura de datos usada depende de las características del grafo y el algoritmo usado para manipularlo. Entre las estructuras más sencillas y usadas se encuentran las listas y las matrices, aunque frecuentemente se usa una combinación de ambas. Las listas son preferidas en grafos dispersos porque tienen un eficiente uso de la memoria. Por otro lado, las matrices proveen acceso rápido, pero pueden consumir grandes cantidades de memoria.

* Estructura de lista

Lista de incidencia - Las aristas son representadas con un vector de pares (ordenados, si el grafo es dirigido), donde cada par representa una de las aristas.
Lista de adyacencia - Cada vértice tiene una lista de vértices los cuales son adyacentes a él. Esto causa redundancia en un grafo no dirigido (ya que A existe en la lista de adyacencia de B y viceversa), pero las búsquedas son más rápidas, al costo de almacenamiento extra.
Lista de grados - También llamada secuencia de grados o sucesión gráfica de un grafo no-dirigido es una secuencia de números, que corresponde a los grados de los vértices del grafo.

* Estructuras matriciales:

Matriz de adyacencia - El grafo está representado por una matriz cuadrada M de tamaño n^2, donde n es el número de vértices. Si hay una arista entre un vértice x y un vértice y, entonces el elemento m_{x, y} es 1, de lo contrario, es 0.
Matriz de incidencia - El grafo está representado por una matriz de A (aristas) por V (vértices), donde [arista, vértice] contiene la información de la arista (1 - conectado, 0 - no conectado)

- Ciclos y caminos:

Un ciclo es una sucesión de aristas adyacentes, donde no se recorre dos veces la misma arista, y donde se regresa al punto inicial.

Un ciclo hamiltoniano tiene además que recorrer todos los vértices exactamente una vez (excepto el vértice del que parte y al cual llega).

Por ejemplo, en un museo grande (al estilo del Louvre), lo idóneo sería recorrer todas las salas una sola vez, esto es buscar un ciclo hamiltoniano en el grafo que representa el museo (los vértices son las salas, y las aristas los corredores o puertas entre ellas).

Se habla también de camino Hamiltoniano si no se impone regresar al punto de partida, como en un museo con una única puerta de entrada. Por ejemplo, un caballo puede recorrer todas las casillas de un tablero de ajedrez sin pasar dos veces por la misma: es un camino hamiltoniano. Ejemplo de un ciclo hamiltoniano en el grafo del dodecaedro.

- Grafos planos:

Cuando un grafo o multigrafo se puede dibujar en un plano sin que dos segmentos se corten, se dice que es plano.

Un juego muy conocido es el siguiente: Se dibujan tres casas y tres pozos. Todos los vecinos de las casas tienen el derecho de utilizar los tres pozos. Como no se llevan bien en absoluto, no quieren cruzarse jamás. ¿Es posible trazar los nueve caminos que juntan las tres casas con los tres pozos sin que haya cruces?

Cualquier disposición de las casas, los pozos y los caminos implica la presencia de al menos un cruce.

Sea Kn el grafo completo con n vértices, Kn, p es el grafo bipartito de n y p vértices.

El juego anterior equivale a descubrir si el grafo bipartito completo K3,3 es plano, es decir, si se puede dibujar en un plano sin que haya cruces, siendo la respuesta que no. En general, puede determinarse que un grafo no es plano, si en su diseño puede encontrase una estructura análoga (conocida como menor) a K5 o a K3,3.

Establecer qué grafos son planos no es obvio, y es un problema que tiene que ver con topología.

Fuentes:

http://es.wikipedia.org/wiki/Teoría_de_grafos

http://gaussianos.com/el-teorema-de-turan-el-comienzo-de-la-teoria-de-grafos-extrema/

http://www.slideshare.net/naborchirinos/conceptos-teoria-de-grafos-5778778

Aplicaciones de matrices

Dominar las matrices puede ser frustrante para cualquier estudiante de álgebra. Entre escribirlas apropiadamente y realmente resolverlas, el proceso puede ser causa de confusión. Sin embargo, como la mayoría de los conceptos matemáticos, resistir el proceso de aprendizaje puede ser mucho más sencillo cuando sabes exactamente cómo esos cálculos se aplican a la vida cotidiana. Aprender acerca de las matrices no es diferente, y afortunadamente, los conceptos detrás de las matrices se aplican de forma regular en la vida diaria.

- Cálculo del área de un triángulo:

Mientras que el área de un triángulo puede ser fácilmente calculada cuando éste es un triángulo rectángulo, si los ángulos son más complicados, ésto puede significar un cálculo más difícil. Si las longitudes de los lados de un triángulo son desconocidas, entonces el problema puede resolverse mediante matrices y determinantes. Este método típicamente involucra usar una forma simple de la regla de Cramer, aunque también se puede aplicar a problemas que requieren una versión extendida de la regla (como por ejemplo, en una matriz de 3x3).

- Análisis de una caja negra:

Más aplicable en el campo de la ingeniería que en ninguna otra área de estudio, las matrices se pueden usar para resolver problemas de circuitos que involucran a voltajes de entrada y salida. Esto normalmente requiere un cálculo simple en una matriz de 2x2. Para resolver estos problemas, debes conocer los componentes del circuito (resistencias, amplificadores operativos, capacitores, etc), y el voltaje de entrada. Las corrientes y el voltaje de salida se pueden descubrir a través de una aplicación de matemática matricial.

- Predicciones de marketing:

Las matrices no sólo son aplicadas por ingenieros y matemáticos. Los analistas de negocios también deben tener un conocimiento básico de matrices cuando trabajan en análisis del mercado y de los precios. La forma de matrices que se usa para este tipo de cálculos depende del análisis que se realiza, y puede ir desde una matriz de 3x4 hasta una matriz rectangular mucho más grande. Para todos los tamaños, sin embargo, el análisis de mercado se realiza de la misma forma, sólo que en distinta escala.

- Cifrado / Codificación:

Las matrices se usan regularmente en todas las formas de cifrado, tanto en programación de computadoras como en criptología. Para la programación, se usan arreglos de dos dimensiones para incluir la información necesaria de las matrices relevantes. A la hora de codificar mensajes, el mensaje enviado depende del código de la matriz detrás del sistema del mensaje. La persona que lo recibe debe conocer la matriz original para poder descifrar el mensaje acertadamente.

Fuente:

http://www.ehowenespanol.com/usos-simples-matrices-info_243709/

Resolución de sistemas con matrices II

- Método de Crammer:

Un sistema de ecuaciones lineales recibe el nombre de sistema de Cramer cuando se cumplen las dos condiciones siguientes:

1) El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

2) El determinante de la matriz de los coeficientes (matriz del sistema) es distinto de cero ( det ( A ) # 0 )

Un sistema de Cramer es, por definición, compatible determinado, puesto que se cumple que rango (A) = rango (A*) = n (nº de incógnitas).

Consideremos un sistema de Cramer, es decir, un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, cuya expresión general es la siguiente:

Todos los sistemas de Cramer son compatibles determinados. El valor de cada incógnita se obtiene dividiendo el determinante de la matriz asociada a dicha incógnita por la matriz del sistema (matriz de los coeficientes de las incógnitas).

Para calcular cada variable hacemos el cociente entre el determinante resultante de sustituir la columna de la variable por la columna de términos independientes. Las otras dos columnas las dejamos como están, dividido todo entre el determinante de A.

Ejemplo:

Un sistema de Cramer es, por definición, compatible determinado. Pero, ¿Se puede aplicar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles indeterminados?

La respuesta es también afirmativa. El procedimiento a seguir es el siguiente: Supongamos que tenemos un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, tal que: rango (A) = rango (A*) = k < n. Por lo tanto, sobran m - k ecuaciones y, además, hay n - k incógnitas no principales. Para averiguar cuáles son las ecuaciones de las que podemos prescindir, y cuáles son las incógnitas no principales, basta encontrar en la matriz de los coeficientes ( A ) un menor de orden k distinto de cero, por ejemplo, el que utilizamos para averiguar el rango de la matriz A. Las filas que intervienen en este menor son las que corresponden a las ecuaciones principales o independientes. Las restantes ecuaciones las podemos suprimir. Las columnas que figuran en dicho menor corresponden a las incógnitas principales. Las incógnitas no principales las pasamos al otro miembro y pasan a formar un único término junto con el término independiente. Se obtiene, de este modo, un sistema de k ecuaciones lineales con k incógnitas, cuyas soluciones van a depender de n - k parámetros (correspondientes a las incógnitas no principales).

- Teorema de Rouché:

Permite conocer si un sistema de ecuaciones tiene solución a partir del estudio del
rango de la matriz asociada al sistema (matriz de coeficientes A) y del rango de la matriz
ampliada de éste (matriz B).

Sea A la matriz de coeficiente asociada a un sistema lineal de n.
Sea A* la matriz ampliada de dicho sistema, se cumple q:
1) Si Rg (A) no es igual a Rg (A*): S.I. (no existe solución)
2) Si Rg (A)=Rg (A*)=n: S.C.D. (existe una única solución)
3) Si Rg (A)=Rg (A*)<n: S.C.I. (existe infinitas soluciones)

Un caso particular es el de los sistemas homogéneos, es decir, aquellos en los que todos los términos independientes son nulos. Pues, en este caso, las matrices A y A* son semejantes a efectos del cálculo del rango, dado que la matriz A* es la matriz A a la que se le añade una columna de ceros, que podemos suprimir para calcular el rango. Por lo tanto, siempre se cumple que rango (A) = rango (A*). Esto quiere decir que todos los sistemas homogéneos son siempre compatibles. Se cumple:

1) Si rango (A) = n (número de incógnitas), el sistema es compatible determinado. Tiene una única solución, que se conoce con el nombre de solución trivial. Es aquella en la que todas las incógnitas son nulas ( 0 ).

2) Si rango (A) < n (número de incógnitas), el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones).

Una vez realizada la "discusión o identificación del sistema", aplicaremos alguno de los métodos que desarrollaremos en los epígrafes posteriores. No obstante, es preciso tener en cuenta las siguientes observaciones:

1) Si el sistema es compatible determinado, el valor común de los rangos indica el número de ecuaciones principales, es decir, aquellas que no dependen de las restantes.

2) Si el sistema es compatible indeterminado, (rango (A) = rango (A*) = k < n) el valor común de los rangos ( k ) indica tanto el número de ecuaciones independientes o principales, como el número de incógnitas principales. Las restantes incógnitas (no principales) n - k las pasaremos al segundo miembro formando un único término junto al término independiente. Siguiendo este procedimiento obtendremos un sistema de k ecuaciones lineales con k incógnitas (principales), al que aplicaremos uno de los procedimientos que estudiaremos en los siguientes apartados: Regla de Cramer, Método de Gauss o, por la matriz inversa.

- Resolución de sistema homogéneos:

Sabemos que un sistema es homogéneo si todos los términos independientes son

cero, y que además, estos sistemas son siempre compatibles. Aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius:

1) Si Rang(A)= nº de incógnitas Î S.C.D. Solución trivial. (0,0,0).

2) Si Rang(A)< nº de incógnitas Î S.C.I. Infinitas soluciones, entre ellas la (0,0,0).

Fuente:

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/sistemas_de_ecuaciones_lineales_2bcnt/discusion_por_el_teorema_de_rouche.htm

http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/cramer.html

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/sistemas_de_ecuaciones_lineales_2bcnt/regla_de_cramer.htm

http://selectividad.intergranada.com/Matematicas/Clase/Tema_08-Teorema_Rouche.pdf

Mis apuntes

Resolución de sistemas con matrices I

El objetivo de este apartado es examinar los aspectos numéricos que se presentan al resolver sistemas de ecuaciones lineales de la forma:

$\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{lll} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{1... ...x_{3} + \cdots + a_{nn}x_{n} & = & b_{n} \end{array} \right. \end{displaymath}$

Se trata de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, x₁, x₂, ..., x_n. Los elementos a_ij y b_i son números reales fijados.
El sistema de ecuaciones se puede escribir, empleando una muy útil representación matricial, como:

$\begin{displaymath}\begin{array}{llll} \left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & a... ...} \\ b_{3} \\ \vdots \\ b_{n} \end{array} \right) \end{array}\end{displaymath}$

Entonces podemos denotar estas matrices por A, x y b de forma que la ecuación se reduce simplemente a:

Ax=b

Los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones se pueden dividir en dos grandes grupos:

Los Métodos exactos o algoritmos finitos que permiten obtener la solución del sistema de manera directa.
Los Métodos aproximados que utilizan algoritmos iterativos e infinitos y que calculan las solución del sistema por aproximaciones sucesivas.

Al contrario de lo que pueda parecer, en muchas ocasiones los métodos aproximados permiten obtener un grado de exactitud superior al que se puede obtener empleando los denominados métodos exactos, debido fundamentalmente a los errores de truncamiento que se producen en el proceso.
De entre los métodos exactos analizaremos el método de Gauss y una modificación de éste denominado método de Gauss-Jordan. Entre los métodos aproximados nos centraremos en el estudio de los métodos de Richardson, Jacobi y Gauss-Seidel.

- Método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones lineales de Gauss - Jordan:

Para resolver un sistema de ecuaciones con este método se emplea la eliminación sucesiva de las incógnitas según este esquema: Considere las siguientes m ecuaciones lineales:

Ahora se arregla una matriz B de este sistema, ampliada con los bi (línea vertical).

Después se hacen transformaciones elementales con los renglones de la matriz, lo cual es equivalente a hacerlo con las respectivas ecuaciones:

Se permite cambiar el orden de las filas.
Se pueden multiplicar los renglones por cualquier número diferente de cero.
Sumar a un renglón de la matriz, otra fila multiplicada por cualquier número.

Así se obtiene una matriz ampliada de un nuevo sistema equivalente al original pues se reduce la matriz B a la forma más sensilla posible que incluya la solución del sistema. A continuación se presenta el procedimiento detallado:

Intercambio de ecuaciones y de la posición de las incógnitas para que a₁₁ 0.
Multiplicación de la primera ecuación por una constante apropiada diferente de cero, para lograr a₁₁ = 1.
Para toda i > 1, se multiplica la primera ecuación por -a_i1 y luego se suma a la i-ésima ecuación, de tal manera que la primera incógnita queda eliminada.

Considere el siguiente ejemplo con anotaciones del cálculo a la izquierda:

La matriz ampliada de este sistema es:

Se resta: el renglón (1) del (2) y el (3), el (1)(3) al (4), resultando la matriz:

Se permutan los renglones (2) y (3) para tener el coeficiente 1en renglón 2

El renglón (2) se duplica y se resta al (1) y al (4), el (2) se triplica y se resta al (3)

El (3) se divide entre (-14), el coeficiente 1 resultante se usa para operar con el cálculo que se indica en la columna izquierda

La columna derecha de la última matriz tiene la solución del sistema propuesto: X₁ = -1, X₂ = 0, X₃ = 1

Ecuacion lineal degenerativa.- Así llamada cuando todos los coeficientes de las incógnitas son cero. En el caso especial de un sistema en que todas las ecuaciones son degenerativas (

aij = 0), se tienen dos casos:

El sistema tiene por lo menos una ecuación de la forma: 0x₁ + 0x₂ +...+ 0x_n = b_i con b_i 0, entonces esta ecuación y por lo tanto el sistema, no tiene solución, (es inconsistente).
Todas las ecuaciones del sistema son de la forma: 0x₁ + 0x₂ +...+ 0x_n = 0, entonces cada ecuación y, por lo tanto el sistema tienen toda "n-ada" de números reales como solución.

En el caso común cuando las ecuaciones no son todas degenerativas (aij

0), el sistema de ecuaciones se reduce a uno más simple equivalente al original que posee las mismas soluciones, el proceso se lleva hasta eliminación completa (Gauss-Jordan) para obtener la solución.

Si se encuentra una ecuación de la forma 0x₁ +... +0x_n = 0 puede quitarse sin que afecte la solución.

Continuando con el proceso anterior, con cada nuevo subsistema, se obtiene por inducción, que el sistema o bién no tiene solución, ó bien es reductible a una forma equivalente.

Para la solución de un sistema de ecuaciones lineales en forma escalonada (eliminación de Gauss-Jordan), hay dos casos:

Si hay tantas ecuaciones como incógnitas (m-=n) entonces el sistema tiene una solución única.
Si hay menos ecuaciones que incógnitas (m < m + n) entonces se pueden asignar arbitrariamente valores a las n variables llamadas en este caso "libres" y obtener una solución del sistema. Si se asignan valores diferentes a tales "variables libres", se pueden obtener muchas soluciones del sistema.

Para el caso particular de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales reducido a la forma escalonada se presentan dos posibilidades.

1)Tantas ecuaciones como incógnitas (m = n), entonces la solución es (0, 0,.....0) ó trivial.

2) Menos ecuaciones que incógnitas (m < m + n), entonces el sistema tiene una solución no nula. En resumen:

- Método de Richardson:

El método de Richardson toma como matriz Q la matriz identidad (I). En este caso la ecuación queda en la forma:

Ix^(k) = (I-A)x^(k-1)+b = x^(k-1)+r^(k-1)

en donde r^(k-1) es el vector residual definido mediante r^(k-1)=b-Ax^(k-1).La matriz identidad es aquella matriz diagonal cuyos elementos no nulos son 1, es decir:

$\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{ll} a_{ij} = 0 & \mbox{~si~~} i \neq j \\ a_{ij} = 1 & \mbox{~si~~} i = j \end{array} \right. \end{displaymath}$

y cumple que

IA = A

para cualquier valor de A; es decir, es el elemento neutro del producto matricial. De acuerdo con esto, la ecuación se puede escribir como:

x^(k) = x^(k-1) - Ax^(k-1) + b = x^(k-1) + r^(k-1)

en donde un elemento cualquiera del vector r^(k-1) vendrá dado por la expresión:

$\begin{displaymath}r_{i}^{(k-1)} = b_{i} - \sum_{i=1}^{n} a_{ij}x_{j}^{(k-1)} \end{displaymath}$

En la siguiente figura se muestra un algoritmo para ejecutar la iteración de Richardson. Este método recibe también el nombre de método de relajación o método de los residuos.

Figure: Implementación del algoritmo iterativo de Richardson.
$\begin{figure} \begin{center} \begin{tabular}{\vert l\vert} \hline \\ ~~~~~... ...($r_{i}$ ) \\ ~ \\ \hline \end{tabular} \end{center} \protect\end{figure}$

- Método de Jacobi:

En la iteración de Jacobi, se escoge una matriz Q que es diagonal y cuyos elementos diagonales son los mismos que los de la matriz A. La matriz Q toma la forma:

$\begin{displaymath}Q= \left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & 0 & 0 & \cdots & 0 ... ...& \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{array} \right) \end{displaymath}$

y la ecuación general se puede escribir como

Qx^(k) = (Q-A)x^(k-1) + b

Si denominamos R a la matriz A-Q:

$\begin{displaymath}R= \left( \begin{array}{ccccc} 0 & a_{12} & a_{13} & \cdots... ...\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & 0 \end{array} \right) \end{displaymath}$

la ecuación anterior se puede reescribir como:

Qx^(k) = -Rx^(k-1) + b

El producto de la matriz Q por el vector columna x^(k) será un vector columna. De modo análogo, el producto de la matriz R por el vector columna x^(k-1) será también un vector columna. La expresión anterior, que es una ecuación vectorial, se puede expresar por necuaciones escalares (una para cada componente del vector). De este modo, podemos escribir, para un elemento i cualquiera y teniendo en cuenta que se trata de un producto matriz-vector:

$\begin{displaymath}\sum_{j=1}^{n} q_{ij}x_{j}^{(k)} = - \sum_{j=1}^{n} r_{ij}x_{j}^{(k-1)} + b_{i} \end{displaymath}$

Si tenemos en cuenta que en la matriz Q todos los elementos fuera de la diagonal son cero, en el primer miembro el único término no nulo del sumatorio es el que contiene el elemento diagonal q_ii, que es precisamente a_ii. Más aún, los elementos de la diagonal de Rson cero, por lo que podemos eliminar el término i=j en el sumatorio del segundo miembro. De acuerdo con lo dicho, la expresión anterior se puede reescribir como:

$\begin{displaymath}a_{ii}x_{i}^{(k)} = - \sum_{j=1, j \neq i}^{n} a_{ij}x_{j}^{(k-1)} + b_{i} \end{displaymath}$

de donde despejando x_i^(k) obtenemos:

$\begin{displaymath}x_{i}^{(k)} = \left( b_{i} - \sum_{j=1, j \neq i}^{n} a_{ij}x_{j}^{(k-1)} \right) / a_{ii} \end{displaymath}$

que es la expresión que nos proporciona las nuevas componentes del vector x^(k) en función de vector anterior x^(k-1) en la iteración de Jacobi. En la figura siguiente se presenta un algoritmo para el método de Jacobi.

Figure: Implementación del método de Jacobi.
$\begin{figure} \begin{center} \begin{tabular}{\vert l\vert} \hline \\ ~~~~~... ...($x_{j}$ ) \\ ~ \\ \hline \end{tabular} \end{center} \protect\end{figure}$

El método de Jacobi se basa en escribir el sistema de ecuaciones en la forma:

$\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{lll} x_{1} & = & \left( b_{1} - a_{2... ...2n}x_{2} - \cdots - \right) / a_{nn} \\ \end{array} \right. \end{displaymath}$

Partimos de una aproximación inicial para las soluciones al sistema de ecuaciones y sustituimos estos valores en la ecuación anterior. De esta forma, se genera una nueva aproximación a la solución del sistema, que en determinadas condiciones, es mejor que la aproximación inicial. Esta nueva aproximación se puede sustituir de nuevo en la parte derecha de la ecuación anterior y así sucesivamente hasta obtener la convergencia.

- Método de Gauss-Seidel:

La iteración de Gauss-Seidel se define al tomar Q como la parte triangular inferior de A incluyendo los elementos de la diagonal:

$\begin{displaymath}Q= \left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & 0 & 0 & \cdots & 0 ... ...a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right) \end{displaymath}$

Si, como en el caso anterior, definimos la matriz R=A-Q

$\begin{displaymath}R= \left( \begin{array}{ccccc} 0 & a_{12} & a_{13} & \cdots... ...dots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array} \right) \end{displaymath}$

y la ecuación se puede escribir en la forma:

Qx^(k) = -Rx^(k-1) + b

Un elemento cualquiera, i, del vector Qx^(k) vendrá dado por la ecuación:

$\begin{displaymath}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j}^{(k)} = -\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j}^{(k-1)} + b_{i} \end{displaymath}$

Si tenemos en cuenta la peculiar forma de las matrices Q y R, resulta que todos los sumandos para los que j > i en la parte izquierda son nulos, mientras que en la parte derecha son nulos todos los sumandos para los que $j \leq i$ . Podemos escribir entonces:

$\displaystyle \sum_{j=1}^{i} a_{ij}x_{j}^{(k)}$	=	$\displaystyle -\sum_{j=i+1}^{n} a_{ij}x_{j}^{(k-1)} + b_{i}$
$\displaystyle a_{ii}x_{i}^{(k)} + \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}x_{j}^{(k)}$	=	$\displaystyle -\sum_{j=i+1}^{n} a_{ij}x_{j}^{(k-1)} + b_{i}$

de donde despejando x_i^(k), obtenemos:

$\begin{displaymath}x_{i}^{(k)} = \left( b_{i} - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}x_{j}^{(k)} - \sum_{j=i+1}^{n} a_{ij}x_{j}^{(k-1)} \right) / a_{ii} \end{displaymath}$

Obsérvese que en el método de Gauss-Seidel los valores actualizados de x_i sustituyen de inmediato a los valores anteriores, mientras que en el método de Jacobi todas las componentes nuevas del vector se calculan antes de llevar a cabo la sustitución. Por contra, en el método de Gauss-Seidel los cálculos deben llevarse a cabo por orden, ya que el nuevo valor x_i depende de los valores actualizados de x₁, x₂, ..., x_i-1.
En la figura siguiente se incluye un algoritmo para la iteración de Gauss-Seidel.

Figure: Algoritmo para la iteración de Gauss-Seidel.
$\begin{figure} \begin{center} \begin{tabular}{\vert l\vert} \hline \\ ~~~~~... ...($x_{j}$ ) \\ ~ \\ \hline \end{tabular} \end{center} \protect\end{figure}$

Fuente:
http://148.204.211.134/polilibros/portal/Polilibros/P_Terminados/Investigacion_de_Operaciones_Careaga/Common/IO-apendicea-eqlinealesgaussjordan.htm
http://www.uv.es/~diaz/mn/node25.html
http://www.uv.es/~diaz/mn/node34.html
http://www.uv.es/~diaz/mn/node35.html
http://www.uv.es/~diaz/mn/node36.html

Determinantes II

- Método de Laplace:

Si tenemos:

Veamos un ejemplo:

1. Vamos a resolverlo fijando la fila 1:

2. Ahora lo vamos a resolver fijando la fila 2:

3. Ahora lo vamos a resolver fijando la fila 3:

Como puedes ver, fijando la fila 1, 2 o 3 obtuvimos el mismo resultado. Ahora está en tí que te fijes cuál de las filas es la que te conviene tomar para resolver el ejercicio.

Veamos que pasa si lo resolvemos fijando las columnas.

4. Ahora lo vamos a resolver fijando la columna 1:

5. Resolvamos fijando la columna 2:

6. Finalmente lo vamos a resolver fijando la columna 3:

Al igual que en las filas, fijando la columna 1, 2 o 3 obtuvimos el mismo resultado. O sea , fijando cualquier fila o cualquier columna , obtendremos el mismo resultado. Pero usa tu ingenio para saber cual es más conveniente elegir.

- Método de Leibniz:

En álgebra, la fórmula de Leibniz expresa el determinante de una matriz cuadrada:

$A = (a_{ij})_{i,j = 1, \dots, n}$

En términos de permutaciones de los elementos de la matriz. Nombrado en honor de Gottfried Leibniz, la fórmula es:

$\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i), i}$

Para una matriz n×n, donde sgn es la Función signo de Permutaciones en el grupo de la permutación S_n que devuelve +1 y -1 para permutaciones pares e impares, respectivamente.

Otra notación común usada para la fórmula es en términos del símbolo de Levi-Civita y hace uso de la notación de Einstein, donde se convierte:

$\det(A)=\epsilon^{i_1\cdots i_n}{a}_{1i_1}\cdots {a}_{ni_n},$

que puede ser más familiar para los físicos.

Evaluar directamente la fórmula Leibniz de la definicion requiere $\Omega(n! \cdot n)$ operaciones en generales decir un número de operaciones asintóticamente proporcionales a n factorial porque n! es el número n de ordenes de permutaciones. Esto es prácticamente difícil para grandes n. En su lugar, el determinante se puede evaluar en O(n)³ operaciones mediante la formación de la Descomposición LU] $A = LU$ (normalmente a través de la Eliminación gaussiana o métodos similares), en cuyo caso $\det A = (\det L) (\det U)$ y los determinantes de las matrices triangulares L y U son simplemente los productos de sus entradas diagonales. (En los usos prácticos de álgebra lineal, sin embargo, raras vez requieren el cálculo explícito del determinante). Ver, por ejemplo, Trefethen y Bau (1997).

- Inversa de una matriz por determinantes:

Por definición de la matriz inversa sabemos que:

. Si calculamos el determinante de las dos partes de esta igualdad, y aplicamos las propiedades de los determinantes que ya conocemos , tenemos:

Existe una propiedad recíproca de la primera de estas dos propiedades: si una matriz cuadrada tiene el determinante distinto de cero entonces tiene inversa.

No vamos a hacer una demostración completa sino que vamos a comprobar en un ejemplo que si el determinante de la matriz no es 0, podemos construir la matriz inversa. Para ello procedemos de la siguiente manera:

Consideremos la matriz

, cuyo determinante es 3. A partir de esta matriz vamos a construir una nueva matriz, que llamaremos la matriz adjunta de A, que está formada por los adjuntos de todos los elementos de A:

Si ahora multiplicamos la matriz A por la traspuesta de su adjunta tenemos lo siguiente:

De donde deducimos que:

Observa que esta construcción es posible si el determinante no es cero. En el anterior producto de las dos matrices se multiplican las filas de la matriz A por los adjuntos de una fila. Resulta que si multiplicamos una fila por la fila de sus adjuntos, sabemos que el resultado es el determinante de la matriz (es lo que ocurre en los elementos de la diagonal principal). También es fácil comprobar que si multiplicamos una fila por los adjuntos de otra fila el resultado es cero (en el resto de los elementos del producto) ya que es el desarrollo de una determinante en la que hay dos filas iguales.

- Rango:

El rango de una matriz es el número de filas (o columnas) linealmente independientes. Utilizando esta definición se puede calcular usando el método de Gauss.

1º Procedimiento: Calculamos un menor de orden 2. Si es distinto de 0, calculamos un menor de orden 3; en otro caso, calculamos un menor de orden 2. SI todos los menores de orden 2 son nulos, el rango de la matriz es un uno.

En caso contrario, si todos los menores de orden 3 son nulos, el rango es 2.

2º Procedimiento: Calculamos todos los determinantes del mayor orden posible, si hay alguno que no sea 0, el rango coincide con el orden de ese determinante. SI todos son cero, probamos con los menores de un orden inferior...

También podemos decir que el rango es: el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Utilizando esta definición se puede calcular el rango usando determinantes.

- Tipo Vandermonde:

Es una matriz que presenta una progresión geométrica en cada fila. Esta matriz recibe dicho nombre en honor al matemático francés Alexandre-Théophile Vandermonde.

Los índices de la matriz de tamaño n×n están descritos por $V_{i,j} = \alpha_i^{j-1}$ para todos los índices i y j variando de 1 a n, lo cual se puede describir explícitamente de la forma siguiente:

$V=\begin{bmatrix} 1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1}\\ 1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1}\\ 1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 1 & \alpha_n & \alpha_n^2 & \dots & \alpha_n^{n-1}\\ \end{bmatrix}$

En el primer elemento de cada fila hay solamente unos (al ser la potencia de cero) y en el segundo elemento hay una serie de números arbitrarios. En el tercero se encuentran esos mismos números elevados al cuadrado. En el cuarto están esos mismos números elevados al cubo y en las siguientes filas elevados a la potencia inmediatamente superior de manera que en el elemento n de cada fila esos números estén elevados a la potencia n-1.

Una matriz de Vandermonde es invertible si y sólo si todas las $\alpha_i$ son distintas entre sí. Hay una fórmula para dicha inversa.

El determinante de una matriz de Vandermonde de tamaño n×n se expresa con la siguiente fórmula general:

$\begin{vmatrix} V \end{vmatrix}=\prod_{1 \le i<j\le n}(\alpha_j-\alpha_i)$

Esta fórmula es denominada en algunas oportunidades como el discriminante, pero en general éste se define como el cuadrado de la fórmula anterior.

Esta fórmula se puede demostrar por inducción. Es fácil notar que en el caso de una matriz de 2×2 el resultado es correcto.

$\begin{vmatrix} V \end{vmatrix}=v_{1,1}v_{2,2} - v_{1,2}v_{2,1}=\alpha_2-\alpha_1=\prod_{1\le i<j\le 2} (\alpha_j-\alpha_i)$

Ahora, generalizando para el caso n×n basta con realizar la siguiente operación elemental sobre cada columna $C_{i}$ : $C_{i}$ - ( $\alpha_1$ × $C_{i-1}$ ). Esta operación no afecta al determinante, por lo que se obtiene lo siguiente:

$\begin{vmatrix} V \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1}\\ 1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1}\\ 1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 1 & \alpha_n & \alpha_n^2 & \dots & \alpha_n^{n-1}\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 1 & \alpha_2-\alpha_1 & \alpha_2(\alpha_2-\alpha_1) & \dots & \alpha_2^{n-2}(\alpha_2-\alpha_1)\\ 1 & \alpha_3-\alpha_1 & \alpha_3(\alpha_3-\alpha_1) & \dots & \alpha_3^{n-2}(\alpha_3-\alpha_1)\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 1 & \alpha_n-\alpha_1 & \alpha_n(\alpha_n-\alpha_1) & \dots & \alpha_n^{n-2}(\alpha_n-\alpha_1)\\ \end{vmatrix}$

Calculando el determinante, se elimina la primera fila de ceros y la primera columna de unos, quedando entonces el determinante de una matriz de n-1×n-1:

$\begin{vmatrix} V \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \alpha_2-\alpha_1 & \alpha_2(\alpha_2-\alpha_1) & \dots & \alpha_2^{n-2}(\alpha_2-\alpha_1)\\ \alpha_3-\alpha_1 & \alpha_3(\alpha_3-\alpha_1) & \dots & \alpha_3^{n-2}(\alpha_3-\alpha_1)\\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ \alpha_n-\alpha_1 & \alpha_n(\alpha_n-\alpha_1) & \dots & \alpha_n^{n-2}(\alpha_n-\alpha_1)\\ \end{vmatrix}$

Siguiendo con el desarrollo de la determinante, se pueden factorizar los productos de diferencias ubicados en las diagonales quedando una nueva matriz de Vandermonde de n-1×n-1.

$\begin{vmatrix} V \end{vmatrix}= (\alpha_2-\alpha_1)(\alpha_3-\alpha_1)\dots(\alpha_n-\alpha_1) \begin{vmatrix} 1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-2}\\ 1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-2}\\ 1 & \alpha_4 & \alpha_4^2 & \dots & \alpha_4^{n-2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\ 1 & \alpha_n & \alpha_n^2 & \dots & \alpha_n^{n-2}\\ \end{vmatrix}$

El proceso se puede repetir continuamente reduciendo el orden de la matriz, quedando así probado el procedimiento por inducción y la demostración de la fórmula indicada en un comienzo.

Fuente:

http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/sarrus.html
http://148.204.211.134/polilibros/portal/Polilibros/P_Terminados/Investigacion_de_Operaciones_Careaga/Common/IO-apendicea-matricesdetdeterminantes.htm
http://www.iesayala.com/selectividadmatematicas/ficheros/teoria/geometria/2_MATRICES.pdf
http://148.204.211.134/polilibros/portal/Polilibros/P_Terminados/Investigacion_de_Operaciones_Careaga/Common/IO-apendicea-matricesdetchio.htm
http://palillo.usach.cl/Pamela/
http://e-ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio/4250/4346/html/23_clculo_de_la_inversa_con_determinantes.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_de_Vandermonde
http://es.wikipedia.org/wiki/Fórmula_de_Leibniz_para_el_cálculo_de_determinantes